「量學堂-16」假設檢驗（中）

接著我們上一篇繼續，沒看前一篇的同學可以看我以前發布的文章 “「量學堂-15」假設檢驗（上）”。

讓我們先獲取股價數據：

將其轉換為日收益率：

這裏不知大家是否有這樣的疑問，既然我們的“原假設（虛無假設）”與“替代假設”分別為：H0：微軟股價收益率的均值為 0；HA: 微軟股價收益率的均值不為 0。那為什麼我們不直接算得微軟的股價收益率均值，從而來直接檢驗假設的正確性呢？

因為我們無法獲得完整的總體數據（每天都會產生新的股價，生生不息），而是隻能獲得某個有限時間段內的收益率樣本。我們並不確定樣本是否可以反應總體的情況。正是由於這種不確定性，我們才需要使用統計檢驗。

下麵，我們選擇合適的檢驗統計量以及對應的概率分布。檢驗統計量通常采用以下的形式：

檢驗統計量依靠樣本數據計算出來，再與它的概率分布進行對比，來決定拒絕還是接受原假設。由於我們要檢驗的是微軟股票的平均收益率是否為0，我們可以使用樣本均值

作樣本統計量。在已知總體標準差

時，通過

計算樣本統計量的標準差；若總體標準差未知時， 通過

計算樣本統計量的標準差，這裏的 s 是樣本標準差。根據假設，分子“基於原假設的總體參數值”指的就是“微軟股價均值為0”，因此我們的檢驗統計量的計算公式可轉化為：

下麵是四個最常用檢驗統計量及其分布：

t-分布 (t-檢驗)

正態分布 (z-檢驗)

卡方分布 (卡方-檢驗)

F-分布 (F-檢驗)

之後我們會具體展開。就目前而言，我們嚐試在微軟的例子中應用 z-檢驗。

選定了合適的檢驗統計量以及概率分布後，我們需要指定檢驗的顯著性水平 α 值，拿它與我們的檢驗統計量比較，從而決定是接收還是拒絕原假設H0。

我們的顯著性水平 α =“假陽性”錯誤發生的概率（“假陽性”是指：錯誤地判斷H0不成立，實際H0 為真）。另一方麵，我們把“假陰性”錯誤發生的概率記作 β （錯誤地判斷 H0 成立，實際 H0 為假）。

如果我們試著減少“假陽性”錯誤發生的概率，我們將會增加“假陰性”錯誤發生的概率，反之亦然。同時減少兩種錯誤發生的概率的唯一方式，就是增加樣本容量。

常用的顯著性水平 α 值有：0.1, 0.05 和 0.01。若 α = 0.1 的情況下拒絕原假設（虛無假設），意味著我們有某種證據顯示原假設是錯誤的。若 α =0.05 時拒絕原假設（虛無假設），說明我們有充分的證據顯示原假設是錯誤的，而當 α =0.01 時拒絕原假設，說明我們有著極其充分的證據顯示原假設是錯誤的。

臨界值

現在我們來尋找臨界值，又稱為“拒絕臨界點”。我們將檢驗統計量與臨界值進行比較，從而決定是否拒絕原假設。如果我們拒絕，我們稱這種情況為“統計上是顯著的”，如果我們不能拒絕原假設，則稱之為“統計上不顯著”。

我們根據假設檢驗的顯著性水平阿爾法及其分布來決定檢驗臨界值 ，在本例中，假設 α = 0.05，則我們的顯著性水平就是 0.05。有兩種設定臨界值的方式來應用單邊 z-檢驗：

如果我們檢驗 H0: θ ≤ θ0，HA: θ ＞ θ0，顯著性水平 α = 0.05，我們根據臨界值0.05查對應的Z分布表得到 z0.05 = 1.645。再將檢驗統計量 z' 與 z0.05 比較，如果 z' > 1.645，我們拒絕原假設。

如果我們檢驗的是 H0: θ ≥ θ0，HA: θ ＜ θ0 ，顯著性水平 α = 0.05，我們同樣查對應的Z分布表得到臨界值 -z0.05 = -1.645。如果 z' < -1.645，我們將會拒絕原假設。

應用雙邊檢測則會有些許不同。由於是“雙邊”，因此將有兩個臨界點，正值和負值。我們的 α = 0.05，因此假陽性發生的概率之和要是0.05，對於雙邊檢驗的情況，我們將 0.05分成“一半一半”，我們將正、負臨界點分別記作 z0.025 和 -z0.025，對照分布表得到臨界值分別為 1.96 和 -1.96。這種情況下，如果 z' < -1.96 或者 z' > 1.96，我們就拒絕原假設。而如果 -1.96≤ z' ≤ 1.96，我們則接受原假設。

當進行假設檢驗的時候，你也可以使用 P-值 來進行判斷。P-值 是你可以拒絕原假設的最小顯著性水平。人們經常把 P-值 理解成“原假設是錯誤”的概率，這是一種誤解。P-值 隻有在與顯著性水平比較時才有意義。如果 P-值 ＜ α ，我們將拒絕原假設，否則我們接受原假設。注意：更小的 P-值 並非意味著統計意義上更顯著。有許多統計工具能夠為你計算P-值，當然你也可以手工計算。計算規則取決於你的假設檢驗類型以及累計密度函數。如果要手工計算P-值，應遵循下述方法：

*對於“≤”的假設檢驗，P-值 = 1-累積密度值（檢驗統計量）

*對於“≥”的假設檢驗，P-值 = 累計密度值（檢驗統計量）

*對於“≠”的假設檢驗，P-值 = 2 * (1 - 累計密度值) (檢驗統計量)

未完待續